Énoncé et histoire du problème
Origines et énoncés de la conjecture
L'histoire de la conjecture de Syracuse remonte au début du XXe siècle, lorsque le mathématicien
allemand Lothar Collatz a formulé cette énigme mathématique. Cette conjecture, bien que
relativement simple à comprendre, demeure l'un des problèmes non résolus les plus célèbres en
mathématiques, et elle continue d'attirer l'attention des mathématiciens du monde entier.
L'énoncé de la conjecture de Syracuse est le suivant : la suite de Syracuse de n'importe quel entier
strictement positif atteint 1
Malgré sa simplicité apparente, la conjecture de Syracuse pose un défi mathématique intrigant, et
personne n'a encore pu prouver de manière concluante qu'elle est vraie pour tous les nombres. Cette
énigme continue d'inspirer des recherches et des explorations mathématiques, et elle demeure l'un
des mystères non résolus de la discipline.
Application de Syracuse
La conjecture de Syracuse repose sur une série d'opération appliquée à un nombre entier sctrictement
positif.
Cette opération, appelée application de Syracuse, est définie ainsi :
- Prenez n'importe quel nombre entier sctrictement positif
- S'il est pair, divisez le par 2
- S'il est impair, triplez le et ajoutez 1
Remarque : On note conventionnellement \(N\) le nombre de départ.
La suite de Syracuse
En itérant sur l'application de Syracuse, nous pouvons obtenir une suite appelée suite de Syracuse.
Cette suite se définie par récurrence
\[\forall n\in \mathbb N^* :\quad u_{n+1}=
\left \{
\begin{array}{c @{=} c}
\frac{u_n}{2} & \text{Si } u_n \text{ est pair} \\
3u_n+1 & \text{Si } u_n \text{ est impair}
\end{array}
\right.
\]
En prenant, par exemple, \(u_0=28\), la suite de Syracuse est la suivante
14 ; 7 ; 22 ; 11 ; 34 ; 17 ; 52 ; 26 ; 13 ; 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8 ; 4 ; 2 ; 1.
1 étant impair, on le multiplie par 3 puis on ajoute 1 ce qui nous donne 4 qui est pair et que l'on
divise donc par 2 pour retomber sur 1...
Le cycle (4, 2, 1) se répète alors indéfiniment, on parle de cycle trivial.
La suite compressée de Syracuse
En observant la formule de la suite de Syracuse, on remarque que si \(u_n\) est impair,
\(u_{n+1}\) est nécessairement pair et l'opération suivante doit donc être une division par deux.
Ainsi, nous pouvons définir une variante de la suite de Syracuse appelée Suite compressée de Syracuse.
La nouvelle suite étant extraite de la suite de Syracuse, la conjecture affirme que celle-ci aboutit
toujours au cycle trivial.
Cette forme est bien intéressante à représenter sous forme algorithmique car celle-ci à l'avantage
de combiner deux étapes en une seule, ce qui augmente la vitesse des fonctions tout en pouvant
toujours vérifier si la suite de Syracuse atterit ou non.
